まとめて。 - ぶっちゃけなくてもどうでも良い日記 by uenov

今日は歯医者に行きました。これで治療は終わりです。
と思ったらもう１本初期のがあるよ。とか言われました。来週も行くことに。
早く終わったんだし、ついでにやってくれよ！とか思っても言えない小心者（ぅ
しかし何故に今頃になって虫歯がこんなに。
生活習慣も変わってないし歯もちゃんと磨いてるのにね。
くっ！誰の陰謀だ！！

以下はメモだから気にしないで〜

$z=x_1cos(\theta)+x_2cos(90-\theta)=x_1cos(\theta)+x_2sin(\theta)$

$z=a_1x_1+a_2x_2$

${a_1}^2+{a_2}^2=1$

$z=a_1x_1+a_2x_2$

$x_1=\frac{1}{n}\bigsum_{i=1}^{n}x_{1i}$

$x_2 = \frac{1}{n} \bigsum_{i=1}^{n}x_{2i}$

$s_{11} = \frac{1}{n} \bigsum_{i=1}^{n} ({x_{1i} - \bar{x_{1}})^2$

$s_{22} = \frac{1}{n} \bigsum_{i=1}^{n} ({x_{2i} - \bar{x_{2}})^2$

$s_{12} = s_{21} = \frac{1}{n} \bigsum_{i=1}^{n} ({x_{1i} - \bar{x_{1}})({x_{2i} - \bar{x_{2}})$

$V(z) = \frac{1}{n} \bigsum_{i=1}^{n} (z_{1i}-\bar{z_1})^2$

$= \frac{1}{n} \bigsum_{i=1}^{n} (a_1x_{1i}+a_2x_{2i}-a_1\bar{x_1}-a_2\bar{x_2}^2)$

$= \frac{1}{n} \bigsum_{i=1}^{n}(a_1(x_{1i}-\bar{x_1})+a_2(x_{2i}-\bar{x_2}))^2$

$= \frac{1}{n} \bigsum_{i=1}^{n} ({a_1}^2(x_{1i}-\bar{x_1})^2+2a_1a_2(s_{1i}-\bar{x_1})(x_{2i}-\bar{x_2})+{a_2}^2(x_{2i}-\bar{x_2}))^2$

$= {a_1}^2s_{11}+2a_1a_2s_{12}+{a_2}^2s_{22}$

$f(a_1,a_2)= {a_1}^2s_{11}+2a_1a_2s_{12}+{a_2}^2s_{22}$

$g(a_1,a_2)={a_1}^2+{a_2}^2-1=0$

とおき、ラグランジュの未定乗数法を用いる。

$F(a_1,a_2,{\lambda})=f(a_1,a_2)-{\lambda}g(a_1,a_2)$

$={a_1}^2s_{11}+2a_1a_2s_{12}+{a_2}^2s_{22}-{\lambda}{a_1}^2+{a_2}^2-1$

$F(a_1,a_2,{\lambda})$ 　をａ1,ａ2で偏微分したものを０とおくことにより分散V(z)を最大にするａ1,ａ2 を求める。

$\array{rcl$\frac{{\partial}F}{{\partial}a_1} = 2a_1s_{11}+2a_2s_{12}-2{\lambda}a_1=0\\{\frac{{\partial}F}{{\partial}a_2} = 2a_1s_{11}+2a_2s_{12}-2{\lambda}a_2=0\\{\frac{{\partial}F}{{\partial}{\lambda}} = -{a_1}^2-{a_2}^2+1=0}$

以上より

$(s_{11}-{\lambda})a_1+s_{12}a_2=0$

$s_{21}a_2+(s_{22}-{\lambda})a_2=0$

これを行列で表すと

$\array{\\{s_{11}-{\lambda}}\quad{s_{12}}\\{s_{21}}\quad{\;\;s_{22}-{\lambda}}}\)$\array{a_1}\\{a_2}$=\(\array{0}\\{0}$

$a_1=\frac{\begin{vmatrix}\0&s_{12}\\0&s_{22}-{\lambda}\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\ s_{11}-{\lambda}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}-{\lambda}\\ \end{vmatrix}}$

$a_1$ について整理るすと以上のようになり、 $a_1=0$ 　になるときは
$\begin{vmatrix}\ s_{11}-{\lambda}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}-{\lambda}\\ \end{vmatrix}\neq~0$
の場合のみになる。よって、
$(a_1,a_2)=(0,0)$
以外の解を持つためにはこの行列値が０でなければならないので、これをλについて解くと

$\begin{vmatrix}\ s_{11}-{\lambda}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}-{\lambda}\\ \end{vmatrix}=(s_{11}-{\lambda})(s_{22}-{\lambda})-{s_{12}}^2$

$=s_{11}s_{12}-{\lambda}(s_{11}+s_{12})+{\lambda}^2-{s_{12}}^2$

$={\lambda}^2-{\lambda}(s_{11}+s_{12})+s_{11}s_{12}-{s_{12}}^2$

$=0$

${\lambda}=\frac{(s_{11}+s_{12})\pm\sqrt{(s_{11}+s_{12})^2-4(s_{11}s_{12}-{s_{12}}^2)}}{2}$

$=\frac{(s_{11}+s_{12})\pm\sqrt{{s_{11}}^2+2s_{11}s_{12}+{s_{12}}^2-4s_{11}s_{12}+4{s_{12}}^2}}{2}$

$=\frac{(s_{11}+s_{12})\pm\sqrt{{s_{11}}^2-2s_{11}s_{12}+{s_{12}}^2+4{s_{12}}^2}}{2}$

$=\frac{(s_{11}+s_{12})\pm\sqrt{(s_{11}-s_{12})^2+4{s_{12}}^2}}{2}$

$\bar{x}$

${\partial}$

${\lambda}$

$(s_{11}-{\lambda})a_1+s_{12}a_2=0$

$(s_{11}-{\lambda})a_1=-s_{12}a_2$

$-\frac{s_{11}-{\lambda}}{s_{12}}=\frac{a_2}{a_1}$

$a_2=-\frac{s_{11}-{\lambda}}{s_{12}a_1}$

${a_1}^2+\frac{({\lambda}-s_{11})^2}{{s_{12}}^2}{a_1}^2=1$

$a_1=\frac{a_1}{\sqrt{{s_{12}}^2+({\lambda}-s_{11})^2}}$

$a_2=\frac{{\lambda}-s_{11}}{\sqrt{{s_{12}}^2+({\lambda}-s_{11})^2}}$

$s_{11}a_1+s_{12}a_2={\lambda}a_1$

$s_{12}a_1+s_{22}a_2={\lambda}a_2$

$s_{11}{a_1}^2+2s_{12}a_1a_2+s_{22}{a_2}^2={\lambda}({a_1}^2+{a_2}^2)$

$V(z)={\lambda}$

$V=$\array{\\{s_{11}}\quad{s_{12}}\\{s_{12}}\quad{s_{11}}}$$

$V=$\array{\\{a_1}\\{a_2}}$$

$a_1=\frac{{\lambda}-s_{11}}{s_{12}}a_2$

$a_2=\frac{s_{12}}{{\lambda}-s_{11}}a_1$
これをそれぞれ（２）に代入すると

${a_1}^2+\frac{({\lambda}-s_{11})^2}{{s_{12}}}{a_1}^2=1$

$\frac{({\lambda}-s_{11})^2+{s_{12}}^2}{{s_{12}}^2}=\frac{1}{{a_1}^2}$

${a_1}^2=\frac{{s_{12}}^2}{({\lambda}-s_{11})^2+{s_{12}}^2}$

$a_1=\frac{s_{12}}{\sqrt{({\lambda}-s_{11})^2+{s_{12}}^2}}$

$\frac{{s_{12}}}{({\lambda}-s_{11})^2}{a_2}^2+{a_2}^2=1$

$\frac{{s_{12}}+({\lambda}-s_{11})^2}{({\lambda}-s_{11})^2}=\frac{1}{{a_2}^2}$

${{a_2}^2}=\frac{({\lambda}-s_{11})^2}{{s_{12}}+({\lambda}-s_{11})^2}$

${{a_2}}=\frac{{\lambda}-s_{11}}{\sqrt{{s_{12}}+({\lambda}-s_{11})^2}}$

$s_{11}{a_1}^2+2s_{12}a_1a_2+s_{22}{a_2}^2={\lambda}({a_1}^2+{a_2}^2)$

よって（１）の分散Ｖ（ｚ）と（２）より

$V(z)={\lambda}$

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